Sifat-Sifat Matriks Eksponensial

Abstract

Fungsi eksponensial natural merupakan fungsi yang memuat bentuk eksponen dengan pangkat berupa variabel dan disimbolkan dengan e^x. Sedangkan pada matriks, matriks yang dianalogikan ke dalam fungsi eksponensial disebut matriks eksponensial dan disimbolkan dengan e^A, dengan  merupakan matriks berukuran n*n. Fungsi tersebut didefinisikan berdasarkan bentuk ekspansi deret Maclaurin dari e^x. Dari analogi tersebut, timbul pertanyaan operasi dan sifat-sifat fungsi eksponensial natural apa saja yang dapat digeneralisasi pada matriks eksponensial. Artikel ini membahas tentang analisis dari sifat-sifat fungsi eksponensial natural yang dapat digeneralisasikan pada matriks eksponensial dan mengkaji sifat-sifat pada matriks eksponensial seperti sifat operasi, diagonal, transpos, determinan dan turunan pada matriks eksponensial. Langkah awal yang dilakukan  adalah mendefinisikan matriks eksponensial, setelah itu dikaji rumusan matriks eksponensial untuk matriks diagonal dan matriks yang dapat didiagonalisasi. Selanjutnya dikaji sifat-sifat operasi yang berlaku pada matriks eksponensial dan sifat transpos, determinan dan turunannya. Sifat-sifat pada fungsi eksponensial natural yang dapat digeneralisasikan pada matriks eksponensial yaitu pangkat nol, operasi perkalian dan turunan fungsi eksponensial. Sifat operasi pembagian pada fungsi eksponensial memiliki bentuk yang berbeda pada matriks eksponensial, pada matriks eksponensial (e^-A) tidak samadengan 1/(e^A) karena operasi pembagian tidak berlaku pada matriks. Matriks eksponensial e^A selalu punya invers dan memiliki invers e^-A.